Bài 1 Trang 156 Sgk Toán 11

     

Hướng dẫn giải bài bác §1. Định nghĩa và chân thành và ý nghĩa của đạo hàm, Chương V. Đạo hàm, sách giáo khoa Đại số với Giải tích 11. Nội dung bài xích giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 156 157 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng hòa hợp công thức, lý thuyết, cách thức giải bài xích tập đại số và giải tích tất cả trong SGK để giúp đỡ các em học viên học xuất sắc môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài 1 trang 156 sgk toán 11

Lý thuyết

1. Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng chừng ((a;b)), (x_0in (a;b)). Số lượng giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số (fracf(x)-f(x_0)x-x_0) khi (x → x_0) được gọi là đạo hàm của hàm số đã mang lại tại (x_0), kí hiệu là (f"( x_0)) hay (y"( x_0)). Như vậy:

(f"( x_0) = lim_x ightarrow x_0) ( fracf(x)-f(x_0)x-x_0).

Nếu để (x – x_0= ∆x) và (∆y = f(x_0+∆x) – f(x_0)) thì ta có

(f"(x_0) = lim_Delta x ightarrow 0) ( fracDelta yDelta x)

Đại lượng (∆x) được hotline là số gia của đối số tại (x_0) cùng đại lượng (∆y) được hotline là số gia khớp ứng của hàm số.

2. Luật lệ tính đạo hàm bởi định nghĩa

– bước 1. với (∆x) là số gia của số đối tại (x_0) ,tính (∆y = f(x_0+∆x)- f(x_0));

– bước 2. Lập tỉ số ( fracDelta yDelta x);

– cách 3. Tính ( lim_Delta x ightarrow 0) ( fracDelta yDelta x).

Nhận xét: nếu nạm (x_0) bởi (x) ta tất cả định nghĩa cùng quy tắc tính đạo hàm của hàm số (y = f(x)) tại điểm (x ∈ (a;b)).

3. Quan hệ giới tính giữa tính liên tục và sự sống thọ đạo hàm

Định lí: Nếu hàm số (y = f(x)) có đạo hàm tại (x_0) thì nó liên tục tại (x_0).

Chú ý:

Định lí trên tương tự với khẳng định : ví như (y = f(x)) cách biệt tại (x_0) thì nó không tồn tại đạo hàm tại điểm đó.

Mệnh đề hòn đảo của định lí không đúng. Một hàm số thường xuyên tại một điểm có thể không bao gồm đạo hàm tại điểm đó.

4. Ý nghĩa hình học tập của đạo hàm

Nếu tồn tại, (f"(x_0)) là hệ số góc của tiếp đường của vật dụng thị hàm số (y = f(x)) trên điểm (M_0(x_0;f(x_0))). Lúc đó phương trình tiếp tuyến của đồ dùng thị trên điểm (M_0(x_0;f(x_0))) là:

( y – f(x_0) = f"(x_0)(x-x_0))

Các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) trên điểm (M_0(x_0;y_0) in (C):)

Bước 1: Tính (f"(x_0) = mathop lim limits_ x o x_0 fracf(x) – f(x_0)x – x_0= mathop lim limits_Delta x o 0 fracf(x_0 + Delta x) – f(x_0)x – x_0 = mathop lim limits_Delta x o 0 fracDelta yDelta x.)

– cách 2: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ dùng thị (C) tại (M_0) là (k=f"(x_0))

– bước 3: Phương trình tiếp đường với thứ thị (C) tại điểm (M_0(x_0;y_0) in (C)) là: (y = f"(x_0).(x – x_0) + y_0)

Các bước viết phương trình tiếp đường của đồ gia dụng thị (C) hàm số y=f(x) lúc biết hệ số k:

– cách 1: hotline (M_0(x_0;y_0) in (C)) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ vật thị (C).

– cách 2: Tính (f"(x_0) = mathop lim limits_ x o x_0 fracf(x) – f(x_0)x – x_0= mathop lim limits_Delta x o 0 fracf(x_0 + Delta x) – f(x_0)x – x_0 = mathop lim limits_Delta x o 0 fracDelta yDelta x.)

– bước 3: Giải phương trình (k=f"(x_0)) tìm (x_0), rồi tra cứu (y_0=f(x_0).)

– cách 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k là: (y = k(x – x_0) + y_0.)

5. Ý nghĩa đồ lí của đạo hàm

Vận tốc tức tốc của hoạt động thẳng xác định bởi phương trình: (s=s(t)) tại thời gian (t_0) là (v(t_0)=s"(t_0).)

Cường độ lập tức của điện lượng (Q=Q(t)) tại thời khắc (t_0) là: (I(t_0)=Q"(t_0).)

Dưới đó là phần hướng dẫn vấn đáp các câu hỏi và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 146 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Một đoàn tàu hoạt động khởi hành từ 1 nhà ga. Quãng đường $s$ (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời hạn $t$ (phút). Ở đầy đủ phút đầu tiên, hàm số đó là $s = t^2$.

Hãy tính vận tốc trung bình của hoạt động trong khoảng với lớn $= 3$ và $t = 2; t = 2,5; t = 2,9; t = 2,99.$

Nêu nhấn xét về những công dụng thu được khi $t$ càng ngay sát to $= 3$.

Trả lời:

Vận tốc của đoàn tàu là:

(v = s over t = t^2 over t = t)

Vận tốc trung bình của vận động trong khoảng với:

(eqalign& t_0 = 3;,t = 2:,,3 + 2 over 2 = 2,5 cr& t_0 = 3;,t = 2,5:,3 + 2,5 over 2 = 2,75 cr& t_0 = 3;,t = 2,9:,,3 + 2,9 over 2 = 2,95 cr& t_0 = 3;,t = 2,99:,3 + 2,99 over 2 = 2,995 cr )

⇒ $t$ càng gần to $= 3$ thì vận tốc trung bình của vận động trong khoảng càng ngay sát $3$.

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 149 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho hàm số $y = x^2$. Hãy tính $y"(x_0)$ bởi định nghĩa.

Trả lời:

Ta có:

(eqalign& y"(x_0) = mathop lim limits_x o x_0 x^2 – x_0^2 over x – x_0 = mathop lim limits_x o x_0 (x – x_0)(x + x_0) over x – x_0 cr& = mathop lim limits_x o x_0 (x + x_0) = 2x_0 cr )

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 150 sgk Đại số với Giải tích 11

a) Vẽ vật thị của hàm số $f(x) = x^2 over 2$

b) Tính $f’(1)$.

c) Vẽ con đường thẳng trải qua điểm $M(1; 1 over 2)$ cùng có hệ số góc bằng $f’(1)$. Nêu dấn xét về vị trí kha khá của đường thẳng này cùng đồ thị hàm số đang cho.

Trả lời:

a) Vẽ đồ vật thị của hàm số $f(x) = x^2 over 2$

*

b) trả sử $Δx$ là số gia của đối số trên xo $= 1$. Ta có:

(eqalign& Delta y = f(1 + Delta x) – f(1) = (1 + Delta x)^2 over 2 – 1^2 over 2 = (Delta x)^2 + 2Delta x over 2 cr& Rightarrow Delta y over Delta x = (Delta x)^2 + 2Delta x over 2:Delta x = Delta x over 2 + 1 cr& Rightarrow f"(1) = mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 Delta x over 2 + 1 = 0 + 1 = 1 cr )

c) Đường thẳng có thông số góc bởi $f"(1) = 1$ gồm dạng:

$y = 1.x + a$ hay $y = x + a$

Mà mặt đường thẳng đó trải qua điểm $M(1; 1 over 2)$ yêu cầu có:

(1 over 2) = 1 + a ⇒ a = (1 over 2) – 1 = -(1 over 2)

⇒ mặt đường thẳng đi qua $M$ và có thông số góc bằng $1$ là:

$y = x – 1 over 2$

Ta gồm đồ thị như trên. Đường trực tiếp $y = x – 1 over 2$ tiếp xúc với đồ thị hàm số $f(x)$ tại $M$.

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 152 sgk Đại số và Giải tích 11

Viết phương trình đường thẳng đi qua Mo(xo; yo) cùng có thông số góc $k$.

Trả lời:

Đường thẳng trải qua điểm Mo(xo; yo) cùng có thông số góc $k$ tất cả phương trình:

$y = k(x – x_0) + y_0$ hay $y = kx + (–kx_0 + y_0)$

5. Trả lời thắc mắc 5 trang 152 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho hàm số $y = -x^2 + 3x – 2$. Tính $y’(2)$ bởi định nghĩa.

Trả lời:

Giả sử $Δx$ là số gia của đối số trên $x_0 = 2$. Ta có:

$Δy = y(2 + Δx) – y(2)$

$= -(2 + Δx)^2+ 3(2 + Δx) – 2 – (-2^2 + 3.2 – 2)$

$= -(4 + 4Δx + (Δx)^2)+ 6 + 3Δx – 2 = – (Δx)^2 – Δx$

(eqalign& Rightarrow Delta y over Delta x = – (Delta x)^2 – Delta x over Delta x = – Delta x – 1 cr& Rightarrow y"(2) = mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 ( – Delta x – 1) = – 1 cr )

6. Trả lời thắc mắc 6 trang 153 sgk Đại số với Giải tích 11

Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của những hàm số:

a) $f(x) = x^2$ trên điểm $x$ bất kì;

b) $g(x) = 1 over x$ tại điểm bất cứ $x ≠ 0$.

Trả lời:

a) mang sử $Δx$ là số gia của đối số trên $x_0$ bất kỳ. Ta có:

(eqalign& Delta y = f(x_0 + Delta x) – f(x_0) cr& = (x_0 + Delta x)^2 – x_0^2 = 2x_0Delta x + (Delta x)^2 cr& Rightarrow Delta y over Delta x = 2x_0Delta x + (Delta x)^2 over Delta x = 2x_0 + Delta x cr& Rightarrow y"(x_0) = mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 (2x_0 + Delta x) = 2x_0 cr )

b) giả sử $Δx$ là số gia của đối số tại $x_0$ bất kỳ. Ta có:

(eqalign& Delta y = g(x_0 + Delta x) – g(x_0) cr& = 1 over x_0 + Delta x – 1 over x_0^2 = – Delta x over x_0(x_0 + Delta x) cr& Rightarrow Delta y over Delta x = – Delta x over x_0(x_0 + Delta x):Delta x = – 1 over x_0(x_0 + Delta x) cr& y"(x_0) = mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 ( – 1 over x_0(x_0 + Delta x)) = – 1 over x_0^2 cr )

Dưới đây là phần trả lời giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 trang 156 157 sgk Đại số và Giải tích 11. Chúng ta hãy hiểu kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

noithatvinhxuan.vn ra mắt với chúng ta đầy đủ phương thức giải bài tập đại số với giải tích 11 kèm bài xích giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 156 157 sgk Đại số và Giải tích 11 của bài bác §1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm vào Chương V. Đạo hàm cho chúng ta tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài tập chúng ta xem bên dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 156 157 sgk Đại số và Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 156 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm số gia của hàm số (f(x) = x^3), biết rằng :

a) (x_0 = 1; ∆x = 1);

b) (x_0= 1; ∆x = -0,1).

Bài giải:

a) (∆y = f(x_0+∆x) – f(x_0) = f(1+1)-f(1))

(=f(2) – f(1) = 2^3-1^3= 7).

b) (∆y = f(x_0+∆x) – f(x_0) = f(1-0,1)-f(1)=f(0,9) – f(1))

(= left ( frac910 ight )^3 – 1^3= frac7291000 – 1 = -frac2711000=-0,271).

2. Giải bài xích 2 trang 156 sgk Đại số với Giải tích 11

Tính (∆y) với (Delta y over Delta x) của các hàm số sau theo (x) và (∆x) :

a) (y = 2x – 5); b) (y = x^2- 1);

c) (y = 2x^3); d) (y = 1 over x).

Bài giải:

a) $∆y = f(x+∆x) – f(x) $=$ 2(x+∆x) – 5 – (2x – 5)$

$= 2x+2∆x-5-2x+5=2∆x$

(Delta y over Delta x = 2Delta x over Delta x = 2).

b) (Delta y = f(Delta x + x) – f(x))

(= (x + Delta x)^2 – 1 – (x^2 – 1))

(=x^2+2x.∆x+(∆x)^2-1-x^2+1)

(= 2x.Delta x + (Delta x)^2)

(= Delta x(2x + Delta x))

(Delta y over Delta x = Delta xleft( 2x + Delta x ight) over Delta x = 2x+Delta x)

c) (∆y = f(x+∆x) – f(x) = 2(x + ∆x)^3- 2x^3)

(=2left < x^3+3x^2.∆x+3.x(∆x)^2+(∆x)^3 ight >-2x^3)

(= 2x^3+6x^2.∆x+6.x(∆x)^2+2(∆x)^3 -2x^3)

(=6x^2Delta x + 6x(Delta x)^2 + 2(Delta x)^3)

(= 2Delta x.left < 3x^2 + 3xDelta x + (Delta x)^2 ight >)

(fracDelta yDelta x = frac2Delta xleft < 3x^2+3xDelta x+(Delta x)^2 ight >Delta x= 6x^2+ 6x∆x + 2(∆x)^2)

d) (∆y = f(x+∆x) – f(x) =-1 over x + 1 over x +Delta x = -x – Delta x + x over xleft( x + Delta x ight) = – Delta x over xleft( x + Delta x ight))

(Delta y over Delta x = frac- Delta x over xleft( x + Delta x ight)Delta x=-1 over left( x + Delta x ight)x)

3. Giải bài 3 trang 156 sgk Đại số với Giải tích 11

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đang chỉ ra:

a) (y = x^2+ x) trên (x_0= 1);

b) (y = frac1x) trên (x_0= 2);

c) (y = fracx+1x-1) trên (x_0 = 0).

Bài giải:

a) đưa sử (∆x) là số gia của số đối trên (x_0 = 1).

Ta có: $∆y = f(1 + ∆x) – f(1) $

$= (1 + ∆x)^2+ (1 + ∆x) – (1^2+ 1)= 3∆x + (∆x)^2$

(fracDelta yDelta x = frac3∆x + (∆x)^2∆x=3 + ∆x)

(mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 (3 + Delta x) = 3)

Vậy (f"(1) = 3).

Xem thêm: Bà Nguyễn Thị Thanh Chị Gái Bác Hồ Còn Có Một Người Chị Gái Như Thế Này

b) giả sử (∆x) là số gia của số đối trên (x_0= 2)

Ta có: (∆y = f(2 + ∆x) – f(2))

(= frac12+Delta x – frac12 =frac2-2-Delta x2(2+Delta x)= – fracDelta x2left ( 2+Delta x ight ));

( fracDelta yDelta x = frac- fracDelta x2left ( 2+Delta x ight )Delta x=- frac12left ( 2+Delta x ight ))

(mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 left( – 1 over 2.(2 + Delta x) ight) = – 1 over 4)

Vậy (f"(2) = – frac14).

c) giả sử (∆x) là số gia của số đối tại (x_0= 0).

Ta có: (∆y = f(∆x) – f(0) = fracDelta x+1Delta x-1- ( -1) =frac∆x+1+∆x-1∆x-1= frac2Delta xDelta x-1);

( fracDelta yDelta x=fracfrac2Delta xDelta x-1∆x=frac2Delta x-1)

( mathop limlimits_Delta x ightarrow 0) ( fracDelta yDelta x) = ( mathop limlimits_Delta x ightarrow 0) ( frac2Delta x-1 = -2).

Vậy (f"(0) = -2).

4. Giải bài xích 4 trang 156 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Chứng minh rằng hàm số

(f(x) = left{ matrix{(x – 1)^2 ext ví như x ge 0 hfill cr– x^2 ext trường hợp x

5. Giải bài xích 5 trang 156 sgk Đại số và Giải tích 11

Viết phương trình tiếp tuyến đường của mặt đường cong (y = x^3):

a) trên điểm bao gồm tọa độ ((-1;-1));

b) tại điểm gồm hoành độ bởi (2);

c) Biết thông số góc của tiếp tuyến bởi (3)

Bài giải:

Bằng tư tưởng ta tính được (y’ = 3x^2).

a) tại điểm bao gồm tọa độ ((-1;-1))

(y’ (-1) = 3).

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến bằng (3).

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm ((-1;-1)) là

(y – (-1) = 3) hay (y = 3x+2).

b) tại điểm có hoành độ bằng (2)

(y’ (2) = 12).

Vậy thông số góc của tiếp tuyến bằng (12)

Ta lại sở hữu (y(2) = 8).

Vậy phương trình tiếp đường tại điểm tất cả hoành độ bởi (2) là: ( y – 8 = 12(x – 2)) hay (y = 12x -16).

c) Biết thông số góc của tiếp tuyến bởi (3)

Gọi (x_0) là hoành độ tiếp điểm. Ta có:

(y’ (x_0) = 3 Leftrightarrow 3x_0^2= 3Leftrightarrow x_0^2= 1Leftrightarrow x_0= ±1).

Với (x_0= 1) ta có (y(1) = 1), phương trình tiếp tuyến đường là ( y – 1 = 3(x – 1)) hay (y = 3x – 2).

Với (x_0= -1) ta bao gồm (y(-1) = -1), phương trình tiếp tuyến đường là (y – (-1) = 3) tuyệt (y = 3x + 2).

6. Giải bài bác 6 trang 156 sgk Đại số với Giải tích 11

Viết phương trình tiếp đường của mặt đường hypebol (y = frac1x):

a) trên điểm (( frac12 ; 2))

b) trên điểm tất cả hoành độ bởi (-1);

c) Biết rằng thông số góc của tiếp tuyến bởi -( frac14).

Bài giải:

Bằng có mang ta tính được (y’ = – frac1x^2).

a) tại điểm (( frac12 ; 2)):

(y’ left ( frac12 ight )= -4).

Vậy thông số góc của tiếp tuyến bởi (-4).

Vậy phương trình tiếp tuyến đường của hypebol trên điểm (( frac12 ; 2)) là (y – 2 = -4(x – frac12)) tuyệt (y = -4x + 4).

b) tại điểm có hoành độ bằng (-1):

(y’ (-1) = -1).

Vậy thông số góc của tiếp tuyến bởi (-1).

Ta lại sở hữu (y(-1) = -1).

Vậy phương trình tiếp con đường tại điểm bao gồm tọa độ là (-1) là (y – (-1) = -) hay (y = -x – 2).

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -( frac14):

Gọi (x_0) là hoành độ tiếp điểm.

Ta tất cả (y’ (x_0) = – frac14 Leftrightarrow – frac1x_0^2 = – frac14)(Leftrightarrow x_0^2 = 4 Leftrightarrow x_0= ±2).

Với (x_0= 2) ta có (y(2) = frac12), phương trình tiếp tuyến đường là (y – frac12 = – frac14(x – 2)) tuyệt (y = -frac14x + 1).

Với (x_0 = -2) ta tất cả (y (-2) = – frac12), phương trình tiếp tuyến là (y – left ( -frac12 ight ) = – frac14) tốt (y = – frac14x -1).

7. Giải bài bác 7 trang 157 sgk Đại số với Giải tích 11

Một thiết bị rơi thoải mái theo phương trình (s = 1 over 2gt^2) , trong những số đó (g ≈ 9,8) m/s2 là gia tốc trọng trường.

a) Tìm gia tốc trung bình của vận động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến (t + ∆t), trong những trường phù hợp (∆t = 0,1s; ∆t = 0,05s; ∆t = 0,001s).

b) Tìm tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm (t = 5s)

Bài giải:

a) vận tốc trung bình của hoạt động trong khoảng thời hạn từ (t) mang đến (t + ∆t) là:

(V_tb= fracsleft ( t+Delta t ight )-sleft ( t ight )Delta t= fracfrac12gcdot left ( t+Delta t ight )^2-frac12gcdot t^2Delta t =1 over 2g(2t + Delta t) approx 4,9.(2t + Delta t))

Với ( t=5) và:

(∆t = 0,1) thì (v_tb≈ 4,9. (10 + 0,1) ≈ 49,49 m/s);

(∆t = 0,05) thì (v_tb≈ 4,9. (10 + 0,05) ≈ 49,245 m/s);

(∆t = 0,001) thì (v_tb ≈ 4,9. (10 + 0,001) ≈ 49,005 m/s).

Xem thêm: Việc Chế Tạo Bom Nguyên Tử Có Ý Nghĩa Gì, 502 Bad Gateway

b) gia tốc tức thời của vận động tại thời khắc (t = 5s) khớp ứng với (∆t = 0)

Vậy (v ≈ 4,9 . 10 = 49 m/s).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài giỏi cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 156 157 sgk Đại số cùng Giải tích 11!