NGUYÊN HÀM CỦA XE^X

     

1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) khẳng định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K nếu F"(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của xe^x

2. Tính chất nguyên hàm

Nguyên hàm gồm 3 tính chất đặc biệt quan trọng cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng bí quyết nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các phương pháp tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng cách thức ĐỔI BIẾN nhằm tìm nguyên hàm

a) Đổi trở nên tổng quát

Bước 1: chọn t = φ(x). Trong các số ấy φ(x) là hàm số cơ mà ta lựa chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = φ"(x)dxBước 3: biểu lộ f(x)dx = g<φ(x)>φ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: khi đó $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân hai về dt = – 3sinx.dxBước 3: biểu hiện $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: khi ấy $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến tấu 1

*

c) Đổi biến dị 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để đặt u và dv: kiếm được v dễ dàng và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: thứ tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm đa thức, các chất giác, hàm mũ).

Ví dụ: tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Phương pháp tính nguyên hàm sử dụng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy kiếm tìm f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình vẫn hướng dẫn cách bấm laptop nguyên hàm nhanh theo 3 bước sau:

Bước 1: nhận shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight)_x = X – fleft( X ight)$

Bước 2: dấn phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá bán nghiệm

Nếu hiệu quả bằng 0 (gần bởi 0 ) thì sẽ là đáp án buộc phải chọn

Ví dụ: Tìm toàn bộ nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm sản phẩm công nghệ tính

Bước 1: Nhập vào laptop casio $fracddxleft( frac12.ln left( left ight) ight)_x = X – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong tác dụng A cùng C nếu mang đến X = 2 thì gần như cho tác dụng là 0. Vậy khi gồm trị hoàn hảo thì mang đến X một giá bán trị cho biểu thức trong trị tuyệt vời và hoàn hảo nhất âm.

Kết luận: Chọn đáp án A.

Xem thêm: Căn Cứ Vào Atlat Địa Lí Việt Nam Trang 4-5, Atlat Địa Lí Trang 4

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $left< eginarrayl I = int P(x)sin axdx \ I = int P(x)c mosaxdx endarray ight.$ với $P(x)$ là một nhiều thứcTa lựa lựa chọn 1 trong hai biện pháp sau:

Cách 1: sử dụng nguyên hàm từng phần, tiến hành theo quá trình sau:

Bước 1: Đặt: $left{ eginarrayl u = P(x)\ dv = left< eginarrayl mathop m s olimits minaxdx\ mcosaxdx endarray ight. endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = P"(x)dx\ v = left< eginarrayl frac – 1ac mosax\ frac m1 masin ax endarray ight. endarray ight.$Bước 2: nạm vào phương pháp nguyên hàm từng phần.Bước 3: tiếp tục thủ tục như bên trên ta đã khử được bậc của nhiều thức.

Xem thêm: Tân Tế Công Phần 2 Tập 1 2 Phim Tế Công Phần 2 Tập 45 Hay Nhất 2022

Cách 2: Sử dụng cách thức hệ số bất định, tiến hành theo quá trình sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong các số đó $A(x)$ cùng $B(x)$ là những đa thức thuộc bậc với $P(x).$ Bước 2: mang đạo hàm nhị vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng phương pháp hệ số biến động ta xác định được $A(x)$ với $B(x).$

Nhận xét: giả dụ bậc của đa thức to hơn $3$ thì bí quyết 1 trầm trồ cồng kềnh, vì lúc đó ta tiến hành số lần nguyên hàm từng phần bởi với số bậc của nhiều thức, cho nên vì thế ta đi đến đánh giá và nhận định như sau:

Nếu bậc của nhiều thức nhỏ dại hơn hoặc bởi $2$: Ta thực hiện cách 1.Nếu bậc của đa thức to hơn hoặc bởi $3$: Ta sử dụng cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài bác tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo dấn xét trên, ta sử dụng phương thức hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm hai vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = < ma_ m2x^3 + left( 3a_1 + b_2 ight)x^2$ $ + left( 2b_1 + c_2 ight)x + c_1 + d_2 m>cosx$$ – < ma_ m1x^3 – left( 3a_2 – b_1 ight)x^2$ $ – left( 2b_2 – c_1 ight)x + c_2 – d_1>sin x$ $(2).$

Đồng độc nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$